Ολική εσωτερική ανάκλαση

Η ολική εσωτερική ανάκλαση είναι ένα οπτικό φαινόμενο που δύναται να συμβεί κάτω από ορισμένες συνθήκες.

Πριν αναφερθούμε στο συγκεκριμένο φαινόμενο, θα δούμε μαζί τι σημαίνει ανάκλαση και διάθλαση. Παρατηρώντας το σχήμα 1, βλέπουμε πως, όταν μια ακτίνα φωτός περνά από ένα οπτικό μέσο[*] σε ένα άλλο οπτικό μέσο, ένα ποσό της επιστρέφει, δεν περνά δηλαδή στο δεύτερο οπτικό μέσο, και ένα πόσο της περνά στο δεύτερο οπτικό μέσο.


Σχήμα 1

Το ποσό αυτό του φωτός που δεν περνά από το διαχωριστικό των δύο οπτικών μέσων, ονομάζεται ανακλώμενη ακτίνα. Το ποσό του φωτός που περνά από την διαχωριστική επιφάνεια είναι η διαθλώμενη ακτίνα. Η διαθλώμενη ακτίνα πάντα περνά με αλλαγή της πορείας της, δηλαδή η γωνία α είναι πάντα διαφορετική από την γωνία β. Οι γωνίες α και β ορίζονται πάντα με την κάθετο στο σημείο προσπτώσεως.

Η διάθλαση υπακούει στον νόμο του Snell. Σύμφωνα με τον νόμο αυτό ο λόγος των ημιτόνων των γωνιών προσπτώσεως και διαθλάσεως είναι αντιστρόφως ανάλογος με τον λόγο των δεικτών διάθλασης[**] των δύο οπτικών μέσων.

Συγκεκριμένα και για το σχήμα 1 έχουμε:

ημα • nα = ημβ • nβ (σχέση 1) ή
ημα / ημβ = nβ / nα (σχέση 2)
όπου nα ο δείκτης διάθλασης του οπτικού μέσου α και nβ ο δείκτης διάθλασης του οπτικού μέσου β

Ο δείκτης διάθλασης του αέρα είναι 1,0003, πρακτικά δηλαδή ισούται με ένα. Ο δείκτης διάθλασης του διαμαντιού ισούται με 2,42.

Εάν κάνουμε πράξη τον νόμο του Snell στη διάθλαση του φωτός, καθώς αυτό εισέρχεται στο διαμάντι διασχίζοντας τον αέρα, θα έχουμε:

ημα • n_αέρα= ημβ • n_{διαμαντιού} (σχέση 1)
και
ημα / ημβ = n_{διαμαντιού} / n_αέρα (σχέση 2)

Αντικαθιστώντας τις τιμές των δ.δ. θα έχουμε:
ημα • 1 = ημβ • n_{διαμαντιού} (σχέση 1)
και
ημα / ημβ = n_{διαμαντιού} / 1 (σχέση 2)
δηλαδή:
ημα = ημβ • n_{διαμαντιού} (σχέση 1)
και
ημα / ημβ = n_{διαμαντιού} (σχέση 2)

κρατώντας μόνο τη σχέση 1 έχουμε:
ημα = ημβ • n_{διαμαντιού} (σχέση 3)

Στην τριγωνομετρία το ημίτονο (ημ) έχει ανάλογη σχέση με την γωνία. Δηλαδή όσο μεγαλώνει η γωνία μεγαλώνει και το ημίτονό της. Παράδειγμα: γωνία 30^˚ έχει μικρότερο ημίτονο από γωνία 45^˚ και γωνία 60^˚ έχει μεγαλύτερο ημίτονο από γωνία 50^˚.

Από τη σχέση 3 συμπεραίνουμε ότι το ημα θα είναι μεγαλύτερο από το ημβ. Επομένως και η γωνία α θα είναι μεγαλύτερη από τη γωνία β. Δηλαδή, όταν το φως περνά από μικρό δ.δ. (οπτικά αραιό μέσο) σε μεγαλύτερο δ.δ. (οπτικά πυκνό μέσο), η διαθλώμενη ακτίνα πλησιάζει την κάθετο. Από αυτά καταλαβαίνουμε ότι όταν το φως (δ.δ._αέρα=1) εισέρχεται στο διαμάντι (δ.δ._{διαμαντιού}=2,42) παρεκκλίνει προς την πλευρά της καθέτου.

Στην αντίθετη περίπτωση, όταν δηλαδή το φως περνά από μεγάλο δ.δ. (δ.δ._{διαμαντιού}=2,42) σε μικρότερο δ.δ. (δ.δ._αέρα=1), τότε συμβαίνει το ανάποδο (σχήμα 2). Δηλαδή η γωνία β είναι πάντα μεγαλύτερη από την γωνία α, επομένως η διαθλώμενη ακτίνα αποκλίνει και απομακρύνεται από την κάθετο (σχήμα 2).


Σχήμα 2

Ας δούμε τώρα τι θα γίνει στην περίπτωση του σχήματος 2, όταν δηλαδή το φως «προσπαθεί» να βγει από το διαμάντι. Αν η γωνία α μεγαλώσει τότε θα μεγαλώσει και η γωνία β (εφόσον είπαμε ότι πάντα σε αυτήν την περίπτωση α<β). Όσο δηλαδή μεγαλώνει η γωνία α, θα μεγαλώνει και η γωνία β. Κοιτάξτε τώρα τι θα συμβεί κάποια στιγμή (σχήμα 3). Για κάποια τιμή της γωνίας α, η γωνία β θα είναι ορθή(=90^˚). Τότε η διαθλώμενη ακτίνα θα οδεύει στο διαχωριστικό μέσο. Αν μεγαλώσουμε λίγο ακόμα την γωνία α, η γωνία β θα είναι μεγαλύτερη από 90^˚ και δεν θα έχουμε καθόλου διάθλαση, αλλά μόνο ανάκλαση. Επομένως όλο το φως θα επιστρέφει στο εσωτερικό του διαμαντιού, θα έχουμε δηλαδή το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης. Την τιμή αυτή της γωνίας α, για την οποία η γωνία β είναι 90 μοίρες, την ονομάζουμε οριακή γωνία.

Η τιμή του ημιτόνου κυμαίνεται από 0 έως 1. Μηδέν είναι το ημίτονο των 0^˚, δηλαδή η μηδενική γωνία έχει ημίτονο = 0. Η μέγιστη τιμή είναι για την ορθή γωνία. Δηλαδή το ημίτονο της γωνίας των 90 μοιρών είναι: ημ90^˚ = 1.

Ας επιστρέψουμε τώρα στην σχέση 3 έτσι όπως έχει διαμορφωθεί στο σχήμα 3:


Σχήμα 3

ημα • n_{διαμαντιού} =ημβ (σχέση 3)
Εάν στην σχέση 3 θεωρήσουμε ότι η γωνία α είναι η οριακή γωνία, η γωνία β θα είναι 90 μοίρες (= 90^˚), και είπαμε πιο πάνω ότι το ημ90^˚=1.
Έτσι η σχέση 3 για α = οριακή γωνία, γίνεται:
ημ_{οριακής} • n_{διαμαντιού} = ημ90^˚ (σχέση 4)
και
ημ_{οριακής} • n_{διαμαντιού} = 1 (σχέση 4)
όπου
ημ_{οριακής} = 1 / n_{διαμαντιού} (σχέση 4)
δηλαδή
ημ_{οριακής} = 1 / 2,42 (σχέση 4)
και τελικά
ημ_{οριακής} = 0,41

Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες βρίσκουμε ότι το ημίτονο 0,41 αντιστοιχεί στην γωνία 24,5^˚. Δηλαδή για το διαμάντι όταν περιβάλλεται από τον αέρα η οριακή γωνία της ολικής εσωτερικής ανάκλασης είναι 24,5 μοίρες, αρκετά μικρή γωνία. Αυτό έχει σαν συνέπια η ολική εσωτερική ανάκλαση να είναι πάρα πολύ πιθανή στο διαμάντι, λόγω του υψηλού του δείκτη διάθλασης (δ.δ.).

Ας δούμε τώρα στην πράξη την είσοδο του φωτός στο διαμάντι και την πορεία που ακολουθεί μέχρι την έξοδό του, σε συνδυασμό με τις παραπάνω τριγωνομετρικές παραμέτρους (σχήμα 4).


Σχήμα 4

Στο σχήμα 4 βλέπουμε την είσοδο του φωτός στο διαμάντι από τα σημεία Α και Β. Στα σημεία αυτά όπως είδαμε και στη σχέση 3 ημα = ημβ • n_{διαμαντιού}, η διαθλώμενη ακτίνα προσεγγίζει την κάθετο. Στη συνέχεια στο σημείο Α1 η γωνία που σχηματίζει η ακτίνα με την κάθετο είναι περίπου 60^˚, μεγαλύτερη δηλαδή από την οριακή (24,5^˚), οπότε συμβαίνει ολική εσωτερική ανάκλαση. Το ίδιο έχουμε και στο σημείο Α2, όπου η γωνία είναι περίπου 45^˚. Τελικά στην έξοδο στο σημείο Α3 η γωνία είναι μικρότερη από 30^˚, και ή διαθλώμενη ακτίνα απομακρύνεται από την κάθετο, όπως είπαμε ότι συμβαίνει όταν από μεγάλο δ.δ. πάμε σε μικρό δ.δ.

Ακριβώς το ίδιο συμβαίνει και με την είσοδο από το σημείο Β. Στο Β1 η γωνία είναι περίπου 50^˚, στο σημείο Β2 περίπου 45^˚, και τελικά στην έξοδο στο Β3 πολύ μικρή.

Τώρα γίνεται πιο σαφές (σχήμα 4) γιατί οι αναλογίες του στρογγυλού μπριγιάν είναι τόσο σημαντικές. Το άνοιγμα του κώνου σε συνδυασμό με το βάθος του, όπως βλέπετε και στα σημεία Β1, Β2, εξαναγκάζει το φως να δημιουργεί μεγάλες γωνίες με την κάθετο. Το ίδιο και οι γωνίες που σχηματίζουν η κορόνα και ο κώνος με τη ζώνη, σε συνδυασμό με το ύψος της κορόνας και το πάχος της ζώνης, αναγκάζουν τις ακτίνες να εισέλθουν στο μπριγιάν, με μικρές γωνίες ως προς την κάθετο, ώστε να οδηγούνται πιο εύκολα στο εσωτερικό του.